Нахождение опорного решения методом северо-западного угла.

12

Исходные данные занесем в упрощенную таблицу

В первом столбце указаны мощности поставщиков, в первой строке – спрос потребителей. Числа в левом верхнем углу клетки – это стоимость перевозок единицы груза от соответствующего поставщика к соответствующему потребителю, т.е. значения из данной в условии матрицы.

План перевозок будет задан, если мы укажем, сколько единиц груза должен получить каждый потребитель от каждого поставщика, т.е. если пустая таблица из трех строк и четырех столбцов будет заполнена.

Северо-западный угол таблицы – это её левый верхний угол, т.е. клетка в 1-й строке и 1-м столбце – клетка (1,1). Поэтому рассмотрим 1-го поставщика и 1-го потребителя. У поставщика А1 есть 30 единиц груза, а потребителю В1 нужно 70 единиц. Находим минимум из этих двух чисел: min (30,70) = 30. Клетка (1,1) перечеркивается по диагонали сплошной чертой ( ), по центру пишется найденный минимум 30. Это означает, что А1 должен поставить потребителю В1 30 единиц груза. Такие клетки в дальнейшем будем называть отмеченными.

Так как поставщик А1 израсходовал все свои 30 единиц груза, то мы исключаем его из рассмотрения. Поэтому все остальные клетки 1-й строки перечеркиваем по диагонали. Такие клетки в дальнейшем будем называть пустыми.

После первого шага наша таблица имеет следующий вид:

304 7 2 3

Первая строка в дальнейшем не рассматривается.

Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (2,1). Поэтому рассмотрим 2-го поставщика и 1-го потребителя. Мощность поставщика А2 равна 190 единиц. Спрос потребителя В1 – 70 единиц груза. Но 30 единиц груза он получил от поставщика А1 (об этом говорит отмеченная клетка (1,1)). Поэтому непокрытый спрос потребителя В1равен 70–30=40. Находим минимум min (190,70-30)=40. Клетка (2,1) становится отмеченной. Мы запишем там этот минимум 40.

Поставщик А1(30 единиц) и А2 (40 единиц) полностью покрывают спрос потребителя В1 (70 единиц). Поэтому остальные клетки 1-го столбца объявим пустыми и в дальнейшем исключим из рассмотрения.

После второго шага таблица имеет следующий вид:

304 7 2 3
403 1
5

Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (2,2). min (190-40,120)=120.

Получаем следующую таблицу:

304 7 2 3
403 1201
5 6



Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (2,3). min (190-40-120,150)=30. Получаем следующую таблицу:

304 7 2 3
403 1201 302 4
5 6

Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (3,3). min (250, 150-30)=120. Получаем следующую таблицу:

304 7 2 3
403 1201 302 4
6 1203

Осталась одна незаполненная клетка – это клетка (3,4). min (250-120,130)=130. Получаем следующую таблицу:

304 7 3
403 1201 302 4
250 6 1203 1307

После выполнения очередного шага мы исключали из рассмотрения либо строку, либо столбец. Только на последнем шаге отпали и строка, и столбец. Поэтому для полностью заполненной таблицы должно соблюдаться следующее отношение: число отмеченных клеток = число строк +число столбцов – 1. В нашем случае это так: 6=3 + 4 – 1.

Посчитаем суммарные затраты. Для этого нужно в каждой отмеченной клетке перемножить ее числа и результаты сложить: 4*30+3*40+1*120+2*30+3*120+7*130=1690.

нахождение исходного опорного решения транспортной задачи на конкретном примере.

На каждом шаге будем делать поставку в клетку с наименьшей стоимостью перевозки единицы груза среди всех незаполненных клеток.

Шаг 1. Среди всех незаполненных клеток у клетки (2,2) наименьшая стоимость перевозки груза – 1. Поэтому делаем поставку в эту клетку min (190,120)=120. Исключаем 2-й столбец как полностью «удовлетворенный».

7
1201
6

Шаг 2. Среди всех незаполненных клеток у клеток (1,3) и (2,3) наименьшая стоимость перевозки единицы груза – 2. Для клетки (1,3) min (30,150)=30. Для клетки (2,3) min(190-120,150)=70. Выбираем ту клетку, куда можно сделать наибольшую поставку. Так как 70>>30, то это клетка (2,3). Исключаем 2-ю строку как полностью «использованную»:

7
3 1201 702
6

Среди всех незаполненных клеток у клетки (1,3) наименьшая стоимость перевозки единицы груза – 2. min (30,150 – 70)=30. Исключаем 1-ю строку как полностью «использованную»:

4 7 302
3 1201 702 4
6

И т.д. Окончательный вариант:

4 7 302 3
3 1201 702
705 6 503 307

Число отмеченных клеток = число строк + число столбцов – 1: 6=3+4–1.

Стоимость перевозки равна: 2*30+1*120+2*70+5*70+3*50+7*130=1730.

Нахождение опорного плана методом Фогеля.

Шаг 1.Рассчитываем штрафы строк и столбцов:

Потреб. Поставки В1 В2 В3 В4
di
А1 4 7 2 3 3-2=1
А2 3 1 2 4 2-1=1
А3 5 6 3 7 5-3=2
dj 4-3=1 6-1=5 3-2=1 4-3=1

Максимальный штраф в столбце 2. Минимальный элемент этого столбца – 1. Загружаем его максимально возможным количеством груза – 120.

Получаем следующую таблицу:

Потреб. Поставки В1 В2 В3 В4
А1 4 7 2 3
А2 3 120 1 2 4
А3 5 6 3 7

Шаг 2. Убираем столбец 2, одновременно уменьшаем количество груза у второго поставщика (строка 2) на 120 единиц и пересчитываем штрафы.

Потреб. Поставки В1 В3 В4
di
А1 4 2 3 3-2=1
А2 3 2 4 3-2=1
А3 5 3 7 5-3=2
dj 4-3=1 3-2=1 4-3=1

Загружаем клетку с тарифом 3 в строке 3 максимально возможным количеством груза – 150, получаем таблицу:

Потреб. Поставки В1 В3 В4
А1 4 2 3
А2 3 2 4
А3 5 150 3 7

Шаг 3. Убираем отмеченный столбец, одновременно уменьшаем количество груза у третьего поставщика на 150 и пересчитываем штрафы.

Потреб. Поставки В1 В4
di
А1 4 3 4-3=1
А2 3 4 4-3=1
А3 5 7 7-5=2
dj 4-3=1 4-3=1

Загружаем клетку А3В1 70 единицами груза, получаем:

Потреб. Поставки В1 В4
А1 4 3
А2 3 4
А3 70 5 7

Шаг 4. На этом шаге после исключения первого потребителя остается столбец В4, в клетки которого загружаем оставшееся количество груза.

Потреб. Поставки В4
А1 30 3
А2 70 4
А3 30 7

В итоге получаем опорный план:


1552093312596217.html
1552140563665072.html
    PR.RU™